|
Динамическое представление сигналов Реферат выполнил: Зазимко С.А. МОСКВА ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем: Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса. На практике широкое применение нашли два способа динамического представления. Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1. рис. 1 При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2. рис. 2 Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ. Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой : ь 0, t < -x, u(t) = э 0.5(t/x+1), -x г t г x, (1) ю 1, t > x. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из УнулевогоФ в УединичноеФ состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда : ь 0,t < 0, s(t) = э 0.5,t = 0, (2) ю 1, t > 0. В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова : ь 0, t < t0, s(t - t0) = э 0.5,t = t0, (3) ю 1, t > t0. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций : е s(t)╗s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+х(sk-sk-1)s(t-kD). k=1 Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда е є ds
ї dt 0 Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции. ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ . Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом : 1 щ x x ∙ u(t;x) = ----- ъ s (t + ---- ) - s (t - ---- ) ў (5) x ы 2 2 √
При любом выборе параметра x площадь этого импульса равна единице : е П = Є u dt = 1 - е Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с. Теперь устремим величину x к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x о 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] : d(t) = lim u (t;x) xо0 Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 [2] дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции : ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как : hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых : е S(t) = х h (t) (7) k= - е k В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t : tk < t < tk+1 Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то е 1 S(t) = х Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D k=- е D Переходя к пределу при D о 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку 1 lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] --- Dо0 D получим искомую формулу динамического представления сигнала е S (t) = Є s (t) d(t - t) dt - е Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3]
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - е до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка : d(t) = 1Т (t) ; d(t-t0) = 1Т (t-t0) . Обобщенные функции как математические модели сигналов. В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ж(t) может служить, например, значение интеграла е Є ж(t) j(t) dt (8) - е при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией. Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть (ж, aj1 + bj2) = a(ж,j1) + b(ж,j2). Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ж(t) [4] . Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать. И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными. Список литературы 1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ. 2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/ [1] Также эту функцию называют единичной импульсной функцией, [2] Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке. [3] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора. [4] Обобщенные функции иногда называют также распределениями. |
